Euclidea 2.9(web版2.8) 点で円に接する接線の作図 解説
作図クイズアプリ、Euclidea。
シンプルな作りながら、最小手数での作図が案外難しくて癖になりますね。
今回はBetaの2.8 点で円に接する接線(Tangent to Circle at Point)の2L3Eについて、作図の解説と数学的考察をしていきます。
(アップデートで問題が追加された影響により、この問題はアプリ版の2.9に対応します)
・2L
まずは2Lから。これは簡単。
円の半径と接線は、接点で垂直に交わることを利用します。
というわけで円の中心と接点を結び、その直線に対して接点を通るような垂線を引けばOK。
・3E
これがまた悩ませる問題です。先に手順を示します。
まず円周上の接点以外の点Aを中心とし、接点を通るような円Aを描きます。この円と与えられた円の2つの交点のうち、接点でない方の点を点Bとします。
次に接点を中心とし、点Bを通るような円を描きます。この円と円Aの交点が、接線が通る1点となりますので、この点と接点を結べば3手で作図完了。
【おまけの解説】
これでなぜ接線が作図できるのか解説します。
接弦定理
この作図にあたっては接弦定理を利用しています。
下図を参照してください。接点を1つの頂点として円に内接する三角形APBを考えると、接線と辺APがなす角と角ABPが等しくなるという定理です。
接弦定理は逆も成り立ちます。つまりこのように大きさが等しくなる角をつくる直線は、接線であるということです。
今回カギとなるのは、点AからAPを半径とする円を作図したことです。
三角形ABPはAP＝ABの二等辺三角形なので、角ABP＝角APBです。
今APと接線のなす角と角ABPが等しいことを言いたいのですが、二等辺三角形であることから角APBと等しいことをいっても同値です。
ここで円Aの円周上のある1点(仮に点Cとします)とAPでつくられる三角形を考えます。この三角形APCと三角形APBは、APが共通であり、同じ円Aの半径であることからAB=ACでもあります。したがって、残り一辺の長さも等しければ三角形の合同条件が成立し、三角形APBと三角形APCは合同となります。
この時対応する角は等しいので、角APC＝角APB また三角形APBが二等辺三角形であることから角ABP＝角APB。
以上より、角APC＝角APBです。
これにより接弦定理の逆が成り立つため、直線PCは与えられた円の接線になります。
さて、合同条件を満たすためにはPB＝PCでなければなりません。これは、点Pを中心としPBを半径とするような円を作図すれば、その円と円Aの交点が求める点Cになります。
